コップや湯飲みのしぶをとりたいのですが、いい方法はありますか？

酸素系漂白剤がおすすめです。

使い方は2Lのお湯（40～50℃）に対して15g（大さじ山盛り1杯）を溶かし、30分浸したあと、水ですすいでください。